同じ場所へ行くなら、まっすぐ進むより、回り道をした方が移動距離は長くなります。では、物体に働く力がする「仕事」も大きくなるのでしょうか？
答えを考える鍵は、道の長さだけでなく、力と移動の向きにも注目することです。
この記事では、力のする仕事を例に、「道に沿って小さな寄与を足し合わせる」線積分の考え方を紹介します。まず直線の道で計算し、シミュレーションで回り道を試してから、動画と数式で仕組みを整理していきましょう。
ここで扱うのは、ベクトル場の線積分です。線積分にはほかの種類もありますが、今回は力と移動の内積を足し合わせる形に絞ります。
まず、力のする「仕事」を思い出す
仕事は、力によるエネルギーの受け渡しを表す
物体を押して速くする。このとき、押す力は物体にエネルギーを与えています。このような、力によるエネルギーの受け渡しを表す量が、物理でいう「仕事」です。
仕事を求めると、物体の速さの変化などを考えられます。正確には、物体に働くすべての力がした仕事の合計が、その物体の運動エネルギーの変化に等しくなります。この記事では、そのうち図に示した力がする仕事を計算します。
力の大きさ・移動距離・向きが関係する
大きさ \(F\) の一定の力が働き、物体がその力と同じ向きに、直線で距離 \(l\) だけ移動するとき、仕事は次の式で求められます。
$$W=Fl$$
つまり「仕事＝力の大きさ×移動距離」です。力をN（ニュートン）、距離をm（メートル）で表すと、仕事の単位はJ（ジュール）になります。
ただし、向きが違えば結果も変わります。力が移動と逆向きなら負の仕事、垂直なら仕事はゼロです。
一定の力と直線移動のなす角を \(\theta\) とすると、移動方向の力の成分は \(F\cos\theta\) です。したがって、
$$W=(F\cos\theta)\,l$$
この「移動方向の成分を使う」という考え方が、線積分でも大切になります。
一定の力の場で、直線の道を計算してみる
どこにいても右向きに2 Nの力が働く場所を考えます。
各場所で物体に働く力を矢印で描くと、同じ長さの右向きの矢印が並びます。このように、各場所にベクトルが対応しているものを「ベクトル場」と呼びます。ここでの矢印は、物体の速度ではなく、働く力を表しています。
Oから、右に3 m離れたPまで、まっすぐ進んでみましょう。力と移動の向きが同じなので、
$$W=Fl=2\,\mathrm{N}\times3\,\mathrm{m}=6\,\mathrm{J}$$
では、同じOからPまで、回り道をすると仕事はどうなるでしょうか？6 Jより大きくなるのか、小さくなるのか、それとも同じなのか。少し予想してから、次のシミュレーションを試してみてください。
シミュレーションで、道と仕事を見比べる
左の図に道を描くと、その道に沿って力がする仕事を、右の図の高さで確認できます。力は、先ほどと同じく、どこでも右向きに2 Nです。
- 「直線の道」を選び、終点で仕事が6 Jになることを確認します。
- 「回り道」や「途中で戻る道」を選び、終点での値を比べます。
- 「終点をP・Oにそろえる」をオンにして、Oから自分の道を描きます。Pで終わるように描いてみましょう。
- 途中で左へ戻ったり、上下方向へ進んだりしたとき、右の図の高さがどう変わるかを見てみます。
右の図の高さは、Oからそこまでに力がした「累積の仕事」です。物体が実際に上がった高さや、位置エネルギーを表しているわけではありません。
OからPへ着く道では、途中の仕事の増え方が違っても、終点の値は6 Jになります。なぜ同じになるのか、また、シミュレーションでは複雑な経路の仕事をどう計算しているのか。その仕組みを考えるために、今度は道の小さな一部分を見てみましょう。
曲がった道を、小さな移動に分ける
曲がった道では、進む向きが場所ごとに変わります。それでも、道を十分に細かく分ければ、一つひとつの区間を短い直線として考えられます。
動画では、道を横方向に24等分しています。 \(i\) は区間を区別する番号、\(\Delta l_i\) はその短い直線区間の長さです。力とその区間の移動方向のなす角を \(\theta_i\) とすると、小区間の仕事は、
$$\Delta W_i=F\cos\theta_i\,\Delta l_i$$
移動をベクトル \(\Delta\mathbf{l}_i\) で表せば、同じ計算を内積で書けます。
$$\Delta W_i=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{l}_i$$
太字の \(\Delta\mathbf{l}_i\) は「移動ベクトル」、太字でない \(\Delta l_i\) はその長さを表します。
右へ進む成分があれば仕事は正、左へ戻る成分があれば負、上下方向だけならゼロになります。内積は、この向きの違いを計算に反映してくれます。
この動画では、横方向の3 mを24等分しているので、一つの区間の右向き（ｘ方向）の変位は0.125 mです。そのため、区間の傾きが違っても、各区間の仕事は2 N×0.125 m＝0.250 Jになります。道の長さ方向に24等分しているわけではありません。
小さな仕事の足し算が「線積分」になる
区間ごとの仕事が求まったら、出発点から到着点まで足し合わせます。続きの動画では、24区間の足し算から、分割数を増やす考え方へ進みます。
各区間の代表点での力 \(\mathbf{F}_i\) を使って、小区間の仕事を近似します。
$$\Delta W_i\approx\mathbf{F}_i\cdot\Delta\mathbf{l}_i$$
区間の数を \(n\) とすると、その計算値の合計 \(W_n\) は次のように書けます。
$$W_n=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{F}_i\cdot\Delta\mathbf{l}_i$$
ここまでは、有限個の区間での仕事を足し合わせてきました。では、なぜこの足し算が積分になるのでしょうか？
定積分でも、小さな区間ごとの寄与を足し合わせ、分割を限りなく細かくすることを考えます。この足し算の極限を表すのが、積分記号です。
今回も考え方は同じです。道を小さな移動に分け、力と移動の内積を足し合わせます。その分割を限りなく細かくした極限を、「道に沿った積分」、つまり線積分として表します。
「限りなく細かくする」とは、分割数を増やすだけでなく、最も長い区間の長さもゼロに近づけることです。こうして、道のどの部分も小さな区間で捉えられるようにします。
$$W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$$
これが、仕事を表すベクトル場の線積分です。積分記号は、道に沿って連続的に足し合わせることを表しています。
- \(C\)：出発点から到着点へ向かう道。
- \(\mathbf{F}\)：その場所で働く力のベクトル。
- \(d\mathbf{l}\)：道に沿った微小な移動のベクトル。
- \(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}\)：その微小な移動で力がする仕事。
ここまでが本筋です。以下は“なぜ細かく分ける必要があるのか”をもう少し詳しく見ます。
今回の24分割では、正確な値6 Jと一致する
今回の仕事の正確な値は6 Jです。動画の24分割で計算した結果も、この値と一致しました。実は、今回のように力が一定なら、分割数を減らしても合計は6 Jになります。
小区間ごとの横の変位を足すと、OからPまでの3 mになるためです。3分割でも、OとPを直接結ぶ1区間でも、この力がする仕事は6 Jです。粗い分割では曲がった道の形を十分に再現できませんが、この場合は仕事の値は変わりません。
では、なぜ分割を細かくするのでしょうか？ 場所によって力が変わる場合には、粗い区間で一つの力を代表として使うと、区間内の変化を十分に捉えられないためです。
力が場所によって変わると、粗い分割ではずれが生じる
別の例として、OからPへ直線で3 m進む間に、右向きの力が1 Nから3 Nへ、位置に対して一定の割合で増える場を考えます。これまでの一定の力の動画・シミュレーションとは、力の条件が違います。
橙色の線は、物体が進む道です。青色と緑色の矢印は、その場所で物体に働く力を表しています。
物体が進む道は水平な直線ですが、進むにつれて力の矢印が長くなります。この道に沿って「位置」と「力の大きさ」を取り出すと、後の図にある右上がりのグラフになります。グラフの縦軸は物体の高さではなく、力の大きさです。
この例の仕事の正確な値も6 Jです。力が直線的に増えるので、距離に対する力の平均は2 Nとなり、3 mの移動で6 Jの仕事をします。力を縦軸、位置を横軸にしたグラフでは、線の下の台形の面積に当たります。
$$W=\frac{1\,\mathrm{N}+3\,\mathrm{N}}{2}\times3\,\mathrm{m}=6\,\mathrm{J}$$
ここでは、各区間の「左端の力」を、その区間全体の代表として使います。その力に区間の長さを掛け、すべての区間について足し合わせます。グラフでは、橙色の長方形の面積の合計です。
各区間の左端の力を使った近似。緑の線の下の面積が、仕事の正確な値6 Jです。
3分割では5 J、6分割では5.5 J、24分割では5.875 Jです。この例では24分割でもまだ少し小さい値ですが、分割を細かくするほど、正確な値6 Jに近づきます。
左端の力を使うと、その区間の途中から右端までで増えた力を小さく見積もります。区間を細かくすると、区間内での力の変化が小さくなり、見積もりのずれも小さくなるのです。
代表点の選び方でも近似値は変わります。この直線的に増える力では、各区間の中央の力を使うと、粗い分割でも正確に6 Jになります。上の図は、左端を使う方法で比較しています。
線積分では、特定の分割数や代表点の選び方に頼るのではなく、すべての区間を限りなく短くした極限を考えます。
なぜ、回り道でも6 Jになったのか？
シミュレーションの、どこでも右向きに2 Nの力が働く場へ戻りましょう。この力がする仕事は、右へ進んだ分から、左へ戻った分を引いた「横の変位」で決まります。
図の道では、上へ進み、右へ4 m進み、下へ進んでから、左へ1 m戻ってPへ着きます。右へ進む区間の仕事は＋8 J、左へ戻る区間は−2 Jです。上下の区間は力と垂直なので、仕事はどちらもゼロになります。
$$W=(0+8+0-2)\,\mathrm{J}=6\,\mathrm{J}$$
これは、図のような折れ線だけの性質ではありません。曲がった道でも、小さな移動の横成分を符号付きで足すと、始点から終点への横の変位になります。
$$W=2\,\mathrm{N}\times(x_P-x_O)$$
OからPまでなら、右へ余分に進んだ分は、左へ戻る分で差し引かれます。正味では右へ3 mなので、どの道でも仕事は6 Jです。
移動距離は、通った道の長さ。変位は、始点から終点への位置の変化。回り道では移動距離が長くなっても、始点と終点が同じなら変位は変わりません。
Oへ戻る一周の道なら、横の変位もゼロになるため、この力がした仕事の合計はゼロになります。シミュレーションでも、Oで終わる道を描いて確かめられます。
どんなベクトル場でも、道によらないの？
今回の一定の力では、仕事は始点と終点だけで決まりました。しかし、すべてのベクトル場でそうなるわけではありません。
今度は、上側ほど右向きの力が強い場を考えます。下の道では2 N、上の道では4 Nの力が右向きに働くものとします。これは、先ほどのシミュレーションとは別のベクトル場です。
Aの道は、先に下側を右へ3 m進んでから、上へ進みます。上下への移動では仕事をしないので、
$$W_A=2\,\mathrm{N}\times3\,\mathrm{m}+0\,\mathrm{J}=6\,\mathrm{J}$$
Bの道は、先に上へ進んでから、上側を右へ3 m進みます。右へ進むときの力が強いため、
$$W_B=0\,\mathrm{J}+4\,\mathrm{N}\times3\,\mathrm{m}=12\,\mathrm{J}$$
二つの道は始点と終点が同じで、道の長さも同じです。それでも、右へ進む場所で働く力の大きさが違うため、仕事は変わります。
このように、線積分の値が通る道によって変わるベクトル場もあります。一方で、場所によって力が変化していても、道によらない場もあります。「力が一定でないから、必ず道による」とは限りません。
仕事が道によらず始点と終点だけで決まる力は「保存力」と呼ばれ、位置エネルギーやポテンシャルにつながります。その性質の詳しい見分け方は、別の話題として扱います。
まとめ：道に沿って、小さな寄与を足し合わせる
曲がった道の仕事も、小さな移動に分けると、力と移動の内積として考えられます。その寄与を道全体にわたって足し合わせるのが、今回学んだ線積分です。
- 仕事には、力の大きさ、移動距離、力と移動の向きが関係します。
- ベクトル場の線積分では、力と小さな移動の内積を、道に沿って足し合わせます。
- 積分値が道によるかどうかは、ベクトル場の性質で決まります。
式 \(W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}\) を見たときに、道の小さな部分を順にたどり、その場所の力と移動を掛け合わせる様子を思い浮かべてみてください。
この考え方は、電場が電荷にする仕事や、電位を学ぶときにも登場します。内積の意味を振り返りながら、次の応用へつなげていきましょう。
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