ストークスの定理を図と動画で理解｜回転と線積分がつながる理由

ストークスの定理は、次の式で表されます。

$$\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$

$$=\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$$

左辺は、面 $S$ でベクトル場の回転の足す面積分。右辺は、その面の境界 $C$ を一周する線積分です。面の中を調べる計算と、外周をたどる計算が、同じ値になると述べています。

同じ正方形の面Sを比較。左は面Sを紫の小区画に分け、各区画の回転の寄与と面積の積を足す面積分。右は境界Cを反時計回りにたどる橙の矢印と線積分。二つの計算は同じ値になる。

同じ正方形の面Sを比較。左は面Sを紫の小区画に分け、各区画の回転の寄与と面積の積を足す面積分。右は境界Cを反時計回りにたどる橙の矢印と線積分。二つの計算は同じ値になる。スマートフォンでは面積分を上、線積分を下に配置。定理の面積分は面積ベクトルdSを用い、Sを太字にする。

この式を理解するために、この記事では二つの疑問に答えます。

なぜ、ベクトル場の回転と線積分がつながるのか？

なぜ、小さな範囲の回転を足すと、大きな範囲の外周の線積分になるのか？

まず、小さな長方形を一周する計算から回転の式が現れる理由を調べます。次に、その小区画を並べて足すと、内側の辺が打ち消し合い、外周だけが残ることを確かめます。

冒頭の式に出てくる記号や内積の意味は、この二つの疑問をたどりながら確認します。後半では、正方形を傾けるシミュレーションで、場の差や進む向きが一周の線積分にどう影響するかを調べ、平面から曲面へ考え方を広げます。

計算に使う数学を確認する
内積：二つのベクトルの向きと大きさを結びつける。
偏微分：一つの方向への変化率を調べる。
線積分：道に沿って内積を足し合わせる。
ベクトル場の回転：場の局所的な回転の向きと強さを表す。

まず、一つ目の疑問「なぜ回転と線積分がつながるのか」を考えます。小さな長方形の四辺に沿って、線積分を計算しましょう。ベクトルを成分に分ける考え方は、ベクトルの基礎で確認できます。

目次（このページで分かること）

場の差を距離で割ると、偏微分になる

偏微分は、一つの方向へ進んだときの「場の値の差 ÷ 進んだ距離」の極限です。たとえば、$y$ を固定して $x$ 方向へ $\Delta x$ だけ進むと、十分に小さな $\Delta x$ に対して、

$$\frac{F_y(x+\Delta x,y)-F_y(x,y)}{\Delta x}$$

$$\approx\frac{\partial F_y}{\partial x}(x,y)$$

と近似できます。この「差を距離で割る」という形が、小さな長方形を一周する線積分にも現れます。

小区画を $R$ とし、左下を $(x,y)$、横幅を $\Delta x$、縦幅を $\Delta y$ とします。線積分は図の反時計回りに一周すると考えます。

小区画Rの幅はΔx、高さはΔy。境界CRを反時計回りにたどり、その線積分をΓとする。図の橙の矢印が一周する向きを示す。

区画の境界を $C_R$、一周の線積分を $\Gamma$ と書くと、

$$\Gamma=\oint_{C_R}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$$

です。$d\mathbf{l}$ は、道に沿う微小な移動ベクトル。内積を取るため、進行方向の場の成分だけが寄与します。同じ向きなら正、逆向きなら負、直角ならゼロです。

x方向だけの場では、下辺と上辺の差になる

まず横成分だけを持つ場を取り出し、$\mathbf{F}^{(x)}$ と書きます。肩に付けた $(x)$ は「場の成分の向き」であり、値が $x$ だけで決まるという意味ではありません。

$$\mathbf{F}^{(x)}=(F_x(x,y),0,0)$$

ここでは、場の変化を直線で表せるほど十分に小さい区画を考えます。一つの方向について、$ax+b$ のような一次関数で表せる、つまり変化の割合がほぼ一定とみなせる範囲です。この前提で、各辺の線積分を計算します。

四隅に(x,y)、(x+Δx,y)、(x,y+Δy)、(x+Δx,y+Δy)の座標を示す。横成分の場と反時計回りの経路。下辺の寄与を＋Fx(x,y)Δx、上辺を−Fx(x,y+Δy)Δxで近似する。左右の辺は寄与ゼロ。

下辺：右へ進み、図の場と同じ向きなので、寄与は

$$+F_x(x,y)\,\Delta x$$

上辺：左へ進み、図の場と逆向きなので、寄与は

$$-F_x(x,y+\Delta y)\,\Delta x$$

です。左右の辺は場と移動が直角で、寄与はゼロ。したがって、一周の線積分 $\Gamma_x$ は、

$$\Gamma_x\approx[F_x(x,y)-F_x(x,y+\Delta y)]\,\Delta x$$

この式の分母と分子に距離 $\Delta y$ を掛けると、

$$=\frac{F_x(x,y)-F_x(x,y+\Delta y)}{\Delta y}\,\Delta x\Delta y$$

となります。分数は「上下の場の差 ÷ 上下の距離」です。通常の変化率とは差の順序が逆なので、

$$\frac{F_x(x,y)-F_x(x,y+\Delta y)}{\Delta y}$$

$$=-\frac{F_x(x,y+\Delta y)-F_x(x,y)}{\Delta y}$$

$$\approx-\frac{\partial F_x}{\partial y}(x,y)$$

です。これを代入すると、

$$\Gamma_x\approx-\frac{\partial F_x}{\partial y}(x,y)\,\Delta x\Delta y$$

が得られます。辺に沿って場を足した計算が、偏微分と面積の積になりました。

y方向だけの場では、右辺と左辺の差になる

次は縦成分だけの場です。考え方は同じで、寄与する辺が入れ替わります。

$$\mathbf{F}^{(y)}=(0,F_y(x,y),0)$$

四隅に(x,y)、(x+Δx,y)、(x,y+Δy)、(x+Δx,y+Δy)の座標を示す。縦成分の場と反時計回りの経路。右辺の寄与を＋Fy(x+Δx,y)Δy、左辺を−Fy(x,y)Δyで近似する。上下の辺は寄与ゼロ。

右辺：上へ進み、図の場と同じ向きなので、寄与は

$$+F_y(x+\Delta x,y)\,\Delta y$$

左辺：下へ進み、図の場と逆向きなので、寄与は

$$-F_y(x,y)\,\Delta y$$

です。上下の辺は場と移動が直角で、寄与はゼロ。二つの寄与を足すと、

$$\Gamma_y\approx[F_y(x+\Delta x,y)-F_y(x,y)]\,\Delta y$$

今度は、分母分子に距離 $\Delta x$ を掛けます。

$$=\frac{F_y(x+\Delta x,y)-F_y(x,y)}{\Delta x}\,\Delta x\Delta y$$

分数は「左右の場の差 ÷ 左右の距離」なので、

$$\frac{F_y(x+\Delta x,y)-F_y(x,y)}{\Delta x}$$

$$\approx\frac{\partial F_y}{\partial x}(x,y)$$

となり、

$$\Gamma_y\approx\frac{\partial F_y}{\partial x}(x,y)\,\Delta x\Delta y$$

が得られます。縦成分でも、一周の線積分が偏微分と面積 $\Delta x\Delta y$ の積になりました。

Γy≈[Fy(x+Δx,y)−Fy(x,y)]Δy。Δxで割って掛けると、差分商×ΔxΔyになる。差分商≈∂Fy/∂xより、Γy≈(∂Fy/∂x)ΔxΔy。

なぜ、小さな一周の線積分に回転が現れる？

ΓxとΓyを足すと、∂Fy/∂x−∂Fx/∂yという回転のz成分が現れる。小区画では一周の線積分は回転の垂直成分と面積の積に近似される。

横成分と縦成分の計算を合わせて、回転と線積分の関係を確かめましょう。一般の平面の場は、横成分だけの場と縦成分だけの場を足したものです。線積分も足し算を保つので、二つの寄与をそのまま合わせられます。

$$\mathbf{F}=\mathbf{F}^{(x)}+\mathbf{F}^{(y)}$$

$$\Gamma=\Gamma_x+\Gamma_y$$

$\Gamma_x,\Gamma_y$ はそれぞれの場によるスカラー量で、ベクトルの成分ではありません。よって単純に足すことができ、

$$\Gamma\approx\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)_{(x,y)}\Delta x\Delta y$$

ここに現れた二つの変化率の差が、ベクトル場の回転の $z$ 成分です。

$$(\nabla\times\mathbf{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}$$

いま一周した長方形は $xy$ 平面にあります。$z$ 方向は、その面に垂直な方向です。このような面に垂直な方向を「法線方向」と呼びます。回転の $z$ 成分が現れたことで、この面の一周とベクトル回転が結びつきました。

この図では、紙面の手前が $+z$ 方向です。先ほど選んだ反時計回りの一周は、この向きに対応しています。

$$\Gamma\approx(\nabla\times\mathbf{F})_z(x,y)\,\Delta x\Delta y$$

これが、回転と線積分がつながる理由です。一周の計算では、向かい合う二辺の場の差が残ります。その差を距離で割って偏微分の形にし、同じ距離を掛け戻すと、回転の垂直成分と面積の積になります。つまり、小さな一周の線積分 ≈ 回転の垂直成分 × 小区画の面積です。

数値例：二つの寄与を実際に足す

単位を持たせない数学上の例として $\mathbf{F}=(-y,x,0)$ を使います。横幅 $0.2$、縦幅 $0.1$ なら、横成分の寄与は $0.02$、縦成分の寄与も $0.02$ です。

$$(\nabla\times\mathbf{F})_z=1-(-1)=2$$

$$\Gamma=0.02+0.02=2\times0.2\times0.1=0.04$$

この例は場が最初から一次式で、回転が一定です。そのため有限の長方形でも近似ではなく、正確に一致します。一般の滑らかな場では、代表点の回転と有限の面積の積は近似として扱います。

なぜ、小区画を足すと外周の線積分になる？

小さな一周の線積分と回転の関係が分かりました。次は、二つ目の疑問です。四つの小区画をそれぞれ反時計回りに一周して足すと、なぜ大きな面の外周だけを一周した計算になるのでしょうか。動画で確かめましょう。

動画の橙の矢印は線積分する向きです。隣り合う区画の共有辺では、同じ道を逆向きにたどります。内側の矢印が消える演出は、この寄与の相殺を表しています。

面全体Sを小区画Riに分け、各区画の境界をC_i、外周をCとする。共有辺の逆向きの線積分は正確に相殺する。回転と面積の積の和は分割の極限で面積分になる。

同じ場を同じ道で逆向きに積分するので、場が辺に沿って変化していても、共有辺の寄与は正確に相殺されます。外周の辺には打ち消す相手がないため、全区画の一周を足すと外周の線積分だけが残ります。

これが、小さな範囲の回転を足すと、大きな範囲の外周の線積分になる理由です。

正方形を傾けて、法線成分の意味を確かめる

二つの疑問は、$xy$ 平面上では解決しました。では、面を傾けた場合には、回転のどの成分を使うのでしょうか。先ほどの「x方向だけの場」と同じ考え方で、正方形の四辺を一周して確かめましょう。

ここでは、単位を持たせない数学上の例として、次の場を使います。

$$\mathbf{F}=(0.6-y,\,0,\,0)$$

矢印はすべてx方向を向き、$y$ が大きくなるほど短くなります。この場の回転は、どこでもz方向を向く、大きさ1のベクトルです。

$$\nabla\times\mathbf{F}=(0,\,0,\,1)$$

正方形は一辺1、面積1とし、大きさを変えずに傾けます。青は場、橙は一周する向き、紫は回転、深緑は単位法線 $\mathbf{n}$ です。法線と一周する向きは、右ねじの関係にそろえます。

まず、水平な正方形で上下の差を確かめる

水平なとき、下辺は $y=-0.5$、上辺は $y=0.5$ にあります。場の大きさは下辺で1.1、上辺で0.1です。下辺を右へ、上辺を左へ進むので、一周の線積分は次の値になります。

$$\Gamma=1.1\times1-0.1\times1=1$$

左右の辺では、場と進む向きが直角なので寄与はゼロです。先ほどと同じく、下辺と上辺の場の差が残るわけです。

では、この正方形を傾けると、何が変わるでしょうか。「y方向に傾ける」と「x方向に傾ける」を切り替えて比べてください。まずは「水平 0°」から「縦 90°」までを見てみましょう。

シミュレーションを別画面で開く

y方向に傾けると、上下の場の差が小さくなる

「y方向に傾ける」は、上辺を持ち上げる傾け方です。上辺と下辺はx方向に平行なままですが、横から見ると、二辺のy方向の間隔が縮みます。

面の傾きを $\theta$ とすると、この間隔は $1\times\cos\theta$ です。

上下の辺の長さは1で、場と進む向きは平行なままです。そのため、一周の線積分は、場の差が小さくなった分だけ小さくなります。

$$\Gamma=\cos\theta\times1=\cos\theta$$

縦90°では、上下の辺が同じ $y$ の位置に来ます。二辺の場が同じ強さになり、逆向きに進む寄与が打ち消し合います。

x方向に傾けると、場と進む向きがずれる

「x方向に傾ける」は、右辺を持ち上げる傾け方です。今度は上下の辺の $y$ の位置が変わらないので、場の大きさは下辺で1.1、上辺で0.1のままです。

変わるのは、場と、辺に沿って進む方向のなす角です。下辺では、水平な青い場に対して、橙の進む向きが $\theta$ だけ傾きます。

$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=|\mathbf{F}|\,dl\cos\theta$$

下辺の寄与は $1.1\cos\theta$。上辺は逆向きに進むため、場との角度は $180^\circ-\theta$ となり、寄与は $-0.1\cos\theta$ です。左右の辺の寄与は、引き続きゼロです。

$$\Gamma=(1.1-0.1)\cos\theta=\cos\theta$$

縦90°では、上下の辺を進む方向が場と直角になり、それぞれの内積がゼロになります。

二つの傾け方が、回転と法線の内積につながる

y方向へ傾けると上下の場の差が小さくなり、x方向へ傾けると進む方向への場の成分が小さくなる。線積分で見ると理由は違いますが、どちらにも同じ $\cos\theta$ が現れました。

面の側から見ると、どちらも法線がz方向から $\theta$ だけ傾いています。この場の回転はz方向なので、回転ベクトルと法線ベクトルのなす角も $\theta$ です。図の紫の角度と、補助図の緑の角度は、異なる組の方向を比べていますが、同じ大きさになります。

$$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=1\times\cos\theta$$

つまり、線積分の計算で現れた $\cos\theta$ は、回転の法線方向成分を取る内積でも読み取れます。回転が一定で面積が1のこの例では、

$$\Gamma=(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,\Delta S=\cos\theta$$

と正確に一致します。「斜め 45°」では約0.707、「縦 90°」では0。「裏返す 180°」では法線も一周する向きも反転し、値は−1になります。

面を傾けたときは、回転のうち、その面に垂直な成分を使う。この見方を、次に曲面へ広げます。

曲面では、その場所の面に垂直な成分を足す

境界Cを持つ曲面Sを小区画に分ける。場所によって異なる深緑の単位法線nを一貫して選び、曲面でも、十分小さく分ければ各区画をほぼ平らな面として扱える。紫の回転ベクトルの法線成分を足すと一般のストークスの定理になる。定理の面積分は面積ベクトルdSを用い、Sを太字にする。

本記事では、青を場 $\mathbf{F}$、紫を回転 $\nabla\times\mathbf{F}$、深緑を単位法線 $\mathbf{n}$、橙を線積分する向きに使います。明るい図と暗い動画でも、この対応は同じです。

曲面でも、小さく分ければ各区画をほぼ平らな面として扱えます。ただし、場所によって面の向きが違います。そこで、固定したz成分の代わりに、その場所の面に垂直な成分を取ります。

単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とすると、回転の法線成分は内積で、

$$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}$$

と書けます。この法線方向と微小な面積 $dS$ を一つにまとめたものが、面積ベクトル $d\mathbf{S}$です。

$$d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS$$

各小区画で接平面に沿う二成分を使えば、先ほどと同じ計算ができます。小区画の向きを一貫して選ぶと共有辺の寄与が相殺され、極限では、

$$\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$

$$=\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$$

これが一般のストークスの定理です。左辺は回転の法線成分を面全体で足す面積分、右辺は境界を一周する線積分。回転ベクトルをそのまま面積と掛けるのではなく、面に垂直な成分を取ることが大切です。

向きは右手で対応させます。右手の親指を法線方向へ向けたとき、残りの指が曲がる向きに境界をたどります。法線の向きを反転させるなら、境界をたどる向きも反転させます。

同じ境界なら、面の形を変えてもよい

今度は、輪を固定したまま、そこに張った膜を上にも下にも膨らませてみましょう。膜の面積は変わります。それでも、回転の面積分は変わるでしょうか。

どの膜を選んでも、ストークスの定理によって、回転の面積分はその膜の外周を一周する線積分に等しくなります。

同じベクトル場で、輪と一周する向きを固定しているので、面の形を変えても外周の線積分は同じです。したがって、回転の面積分も同じ値になります。

同じ円形の境界Cを持つ上半球S1と下半球S2。上半球では外向き、下半球では内向きの法線を選ぶと、境界の周回方向は同じになる。破線は面の裏に隠れる境界。両面の回転の面積分は同じ境界の線積分に等しい。

回転の面積分は、境界が同じなら、積分に使う面の形によらない。それぞれの面でストークスの定理を適用できることが前提です。

閉じた面では、回転の面積分はゼロ

先ほどは、二つの面の法線を同じ向きの境界に対応させました。今度は、閉じた面の外向きにそろえます。そのため下半球の法線は下向きになり、共通の縁をたどる向きも上半球と逆になります。

球面を上下に分け、法線を外向きにする。上半球の境界の前側は右向き、下半球は左向き。破線は面の裏に隠れる境界。共通境界の寄与I_Cと−I_Cが相殺され、閉曲面Σの回転の面積分はゼロとなる。

球の表面のように閉じた面では、どうなるでしょう。小区画を並べる考え方は同じですが、閉じた面には「外側のふち」がありません。

各区画の法線を外向きにそろえて一周すると、すべての辺が二つの区画に共有され、逆向きの寄与が打ち消し合います。今度は、最後に残る境界がないのです。

閉曲面を $\Sigma$、外向きの単位法線を $\mathbf{n}$ と書けば、

$$\iint_{\Sigma}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=0$$

となります。回転の法線成分を閉じた面全体で積分するとゼロになる。ゼロになるのは面全体の合計であり、各点で回転がゼロという意味ではありません。

共通の縁を上半球側の正向きに一周した線積分を $I_C$ とすると、下半球側は $-I_C$ です。同じ縁の寄与が $I_C+(-I_C)=0$ と相殺されます。

たとえば動画と同じ、上向きに一定の回転を考えても、球の上側では外向き法線との内積が正、下側では負になり、面全体では相殺されます。こちらも、閉曲面とその近傍で場が滑らかであることを前提とします。

電磁気学では、どこにつながる？

たとえば、充電中のコンデンサを考えてみましょう。導線には電流が流れ、極板に電荷がたまります。一方、絶縁された極板の間を、電荷がそのまま通り抜けるわけではありません。

ここで、導線を囲む輪を一つ固定します。その輪に張る面を平らにすれば導線を横切りますが、極板の外側を回り込むように膨らませれば、極板間を通る面にできます。面を通る電荷の流れだけを数えると、前者では電流があり、後者ではゼロになります。

充電中のコンデンサで同じ輪Cを固定。平らな面は導線を横切る。膨らませた面は極板の外側を回り込み、極板間を通る。後者には電荷の流れはないが、変化する電場による変位電流があり、両面で合計がそろう。

しかし、調べている輪と一周する向きは同じです。その輪に沿って磁場を足した線積分が、計算に選んだ面だけで変わるのはおかしいはずです。ここに、この記事で見た「同じ境界なら、面を変えても同じ」という考え方が効いてきます。

そこで大切になるのが、充電中には極板間の電場が時間とともに変化していることです。この変化による寄与を「変位電流」と呼び、電荷の流れによる電流と合わせて数えます。図の理想的なコンデンサでは、極板間の変位電流は導線を流れる電流と同じ大きさになり、どちらの面でも結果がそろいます。

この変位電流を含めた磁場と電流の関係は、電磁気学の基礎となる「マクスウェル方程式」の一つです。マクスウェル方程式は、電荷・電流・電場・磁場がどう関係するかをまとめた法則です。ストークスの定理は、それらを「面の中」と「ふち」の両方から理解するための道具になります。

詳しい式は、これから電磁気学の法則を学ぶときに扱います。ここでは、面の選び方という数学の話が、電場と磁場の基本法則にもつながっていることに注目してください。参考：OpenStax・マクスウェル方程式

まとめ（30秒で振り返る）

小区画で回転の法線成分と面積の積が小さな一周の線積分に近似的に等しい。全区画の周回を足すと共有辺が逆向きに打ち消し合い、外周Cだけが残る。分割を細かくした極限で面積分と線積分が等しくなる。

なぜ、回転と線積分がつながるのか。小さな一周を計算すると、横成分では上下の差、縦成分では左右の差が残ります。これらの差を偏微分で表すと、回転の垂直成分と小区画の面積の積が現れます。

なぜ、小さな範囲を足すと、大きな範囲の外周の線積分になるのか。小区画の一周を足すと、共有する内側の辺は逆向きの積分で打ち消し合い、外周だけが残ります。各区画の回転の寄与と面積の積を足し、分割を細かくした極限が面積分です。

この二つをつなぎ、面の向きに合う回転の成分を使うと、冒頭の式になります。

$$\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$

$$=\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$$

同じ外周なら面の形を変えても同じ値になり、外周のない閉じた面なら合計はゼロになる。これらの性質も、小さな一周を足すという同じ考え方から続いています。

本記事では、面と境界が区分的に滑らかで、面の表裏を一貫して選べ、面を含む近傍で場の一階偏微分が連続な場合を考えました。面に穴があれば、穴の縁も向きを対応させて境界に含めます。曲面への説明は幾何学的な導出の概略です。